Niclas Wohlleben, Klaus Greven
Das Thema unserer Arbeit ist die Iteration reeller Funktionen im Einheitsintervall. Wir benutzen dazu eine Parabel mit der Gleichung f(x)=4λx(1-x), wobei λ Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann und die Höhe bestimmt.
Iterieren heißt nun, daß man einen bestimmten Punkt x0 wählt, und diesen in die Funktion einsetzt. Das Ergebnis ist wieder der nächste x-Wert, und wird wieder in die Funktion eingesetzt. Dieses wiederholt man beliebig oft und stellt es auch graphisch dar.
Als Hilfsmittel für die Berechnungen stand uns ein Heimcomputer zur Verfügung.
Betrachtet man die Folge der Werte, so erkennt man, daß bei bestimmten Werten für λ die Folge auf einen Wert zuläuft und sich dann nicht mehr ändert. Das erkennt man auch am Graphen und nennt diese Punkte Fixpunkte.
Vergrößert man λ, treten plötzlich zwei dieser Fixpunkte auf, bei größerem λ 4, dann 8 und so weiter.
Dies ist die Periodenverdopplung, die schießlich ins Chaos führt, das heißt es gibt so viele Fixpunkte, daß sie als solche nicht mehr erkennbar sind.
Unsere Arbeit bezieht sich nun hauptsächlich auf den nichtchaotischen, berechenbaren Bereich bzw. den Übergang zum Chaos. In diesem Bereich kann man das Auftreten und Eigenschaften der Fixpunkte an Hand der Funktionsgleichung und der Ableitung berechnen. Weitere Möglichkeiten zur Variation dieses Problems wären z.B. die Änderung der Funktionsgleichung oder die Potenzierung von f, welche wir auch noch betrachten werden.
